Question

25、如图，平面直角坐标系中，直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点，A、C是过D点的直线上两点，连接OA、OC、BD，∠CBO=∠COB，且OD平分∠AOC．
（1）请判断AO与CB的位置关系，并予以证明；

（2）沿OA、AC、BC放置三面镜子，从O点发出的一条光线沿x轴负方向射出，经AC、CB、OA反射后，恰好由O点沿y轴负方向射出，若AC⊥BD，求∠ODB；

（3）在（2）的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面镜子l，从射线OA上任意一点P放出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于Q点，OQ交BP于M点，给出两个结论：①∠OMB的度数不变；②∠OPB+∠OQB的度数不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的判断并求值．

Answer 1

分析：（1）AO与CB平行，只要证明∠AOB+∠OBC=180°即可；
（2）作垂线GE⊥CB、FO⊥AO，由GE、OF为法线，∠DEG=∠GEO，∠EOF=∠BOF，再由平行线的性质即可求解；
（3）设∠AOD=∠DOQ=x，∠PBD=∠QBD=y，
在△PNO和△QNB中∠OPB+x=45°+y，
在△QHB和△DHO中∠OQB+y=45°+x，
两式相加得∠OPB+∠OQB=90°．

解答：解：
（1）（5分）平行．
证明：设∠AOD=∠COD=x，
∠BOC=∠OBC=y，
则∠BOD=x+y=90°，
故2x+2y=180°，
即∠AOB+∠OBC=180°，
得AO∥CB．

（2）如图所示，作垂线GE⊥CB、FO⊥AO．
∵AO∥CB，
∴FO⊥BC；
∴GE∥OF（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠GEO=∠FOE；
∵GE、OF为法线，
∴∠DEG=∠GEO，∠EOF=∠BOF，
∴∠DEO=∠EOB，
∴DE∥OB
∴∠EDB=∠DBO，
∵BD为法线，
∴∠EDB=∠BDO，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠BDO=45°．

（3）（5分）选②，∠OPB+∠OQB=90°，
证明：设∠AOD=∠DOQ=x，
∠PBD=∠QBD=y，
在△PNO和△DNB中∠OPB+x=45°+y，
在△QHB和△DHO中∠OQB+y=45°+x，
两式相加得∠OPB+∠OQB=90°．

点评：本题主要证明了平行线的证明方法，可以证明两直线被第三条直线所截得到的内错角相等．并且本题考查了平行线的性质．