Question

利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
（1）如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的

1

2

、

1

4

、

1

8

、…、

1

2n

，
根据图示我们可以知道：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=

 

．

利用上述公式计算：2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=

 

．
（2）如图，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的

2

3

，根据图示

计算：

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=

 

．
（3）如图是一个边长为1的正方形，根据图示

计算：

1

3

+

2

9

+

4

27

+

8

81

+…+

2n-1

3n

=

 

．

Answer 1

分析：整个正方形的面积减去剩余（n+1）部分的面积即前n项面积之和．

解答：解：（1）1-

1

2n

，
2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹（

1

22007

+

1

22006

+…+

1

2

）+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹（1-

1

22007

）+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹+4+2²⁰⁰⁹=6；

（2）

2

3

+

2

9

+…+

2

3n

=1-

1

3n

；

（3）

1

3

+

2

9

+

4

27

+

8

81

+…+

2n-1

3n

═1-

2n

3n

．

点评：利用面积差进行计算，考查了根据通项公式求和的新方法．题目新颖．