Question

14．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED=30°，OB=10，则弦AB=10$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由垂径定理可证AC=BC，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，由30°的圆周角可求得圆心角∠BOD=60°，在RT△OBC中，解正弦函数求得BC，进而求得AB的长度．

解答 解：∵OD⊥AB，
∴AC=BC，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∵∠AED=30°，
∴∠BOD=2∠AED=60°，
在RT△OBC中，sin∠COB=$\frac{BC}{OB}$，
∴OB=10，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{BC}{10}$，
∴AB=2BC=10$\sqrt{3}$．
故答案为10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了：①圆周角与圆心角：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；②垂径定理：垂直于弦的直径平分线并且平分弦所在的弧，③解直角三角形．