练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=-
    23
    x2+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F
    （1）求b，c的值及D点的坐标；
    （2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；
    （3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．
    分析：（1）把点A，B代入抛物线y=-
    2
    3
    x2+bx+c求得b、c即可，y=0，建立方程求得点D；
    （2）四边形OEBF的面积不变，利用三角形全等证得结论即可；
    （3）用m分别表示出两个三角形的面积，求差探讨得出答案即可．
    解答：解：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=-
    2
    3
    x2+bx+c得
    c=2
    -
    8
    3
    +2b+c=2

    解得b=
    4
    3
    ，c=2；
    ∴y=-
    2
    3
    x2+
    4
    3
    x+2；
    令-
    2
    3
    x2+
    4
    3
    x+2=0
    解得x1=-1，x2=3
    ∴D点坐标为（3，0）．
    （2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
    ∵四边形OABC是正方形
    ∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
    又∵BF⊥BE
    ∴∠FBE=90°
    ∴∠ABF=∠CBE
    ∴△ABF≌△BCE
    ∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
    （3）如图，

    可以看出S△BEF=S梯形OCBF-S△OEF-S△BEC
    =
    1
    2
    （2+2+m）×2-
    1
    2
    m（2+m）-
    1
    2
    （2-m）×2
    =-
    1
    2
    m2+m+2
    S△BED=
    1
    2
    ×（3-m）×2
    =3-m
    两个三角形的面积差最小为0，
    即3-m=-
    1
    2
    m2+m+，
    解得m=2±
    		2
    ，
    ∵E是OC上的动点
    ∴m=2-
    		2
    ，
    当m=2-
    		2
    时S最小为0．
    点评：此题综合考查待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=精英家教网2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1、AE1．
    （1）求证：△OAE1≌△OCF1；
    （2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知正方形OABC的边长为4，⊙M是以OC为直径的圆，现以O为原点，边OA、OC所在的直线为坐标轴建精英家教网立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线y=ax2+bx经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P．
    （1）求证：4a+b=0；
    （2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求a的取值范围；
    （3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E．
    ①求E点的坐标；
    ②如果抛物线与直线y=x-4只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年江苏省连云港市中考数学原创试卷大赛（7）（解析版） 题型：解答题

    如图，已知正方形OABC的边长为4，⊙M是以OC为直径的圆，现以O为原点，边OA、OC所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线y=ax2+bx经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P．
    （1）求证：4a+b=0；
    （2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求a的取值范围；
    （3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E．
    ①求E点的坐标；
    ②如果抛物线与直线y=x-4只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2010年全国中考数学试题汇编《图形的旋转》（04）（解析版） 题型：解答题

    （2010•潍坊）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1、AE1．
    （1）求证：△OAE1≌△OCF1；
    （2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案