Question

17．如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE=∠CAD，AB=AE，AD=AC
（1）求证：∠DEC=∠BAE；
（2）如图2，当∠BAE=∠CAD=30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，试直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠BAE=∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：（1）如图1，∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
在△ACD与△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB=180°，
∠ECD+2∠ACB=180°，
∴∠BAC=∠ECD；

（2）解：如图2，
①∵∠BAE=∠CAD=30°，
∴∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=75°，
由（1）得：∠ACD=∠ABC=75°，
∠DCE=∠BAC=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAE=30°，
∴∠AFC=180°-30°-75°=75°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG=∠DCE=30°，∠ABC=75°，
∴∠G=45°，
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF=75°-45°=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
④∵∠ECD=∠EDC=30°，
∴△ECD是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．