Question

2．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，以DE为对角线构造正方形DGEF，点G在正方形ABCD内部，连接BF与边AD交于点M，连接CG．若DM=6，AM=4，则线段CG的长为$\frac{50}{7}$．

Answer 1

分析 连接AF，过F作FH⊥AD于H，根据△ADF≌△CDG，可得CG=AF，设FH=DH=x，则MH=6-x，根据FH∥AB，可得$\frac{FH}{BA}$=$\frac{MH}{MA}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{6-x}{4}$，求得FH=$\frac{30}{7}$，MH=$\frac{12}{7}$，AH=$\frac{40}{7}$，再根据勾股定理即可得到Rt△AFH中AF的长，进而得出CG的长．

解答 解：如图，连接AF，过F作FH⊥AD于H，则FH∥AB，
∵四边形ABCD和四边形DFEG是正方形，
∴DF=DG，∠ADF=∠ADG=45°=∠CDG，AD=CD，
∴△ADF≌△CDG，
∴CG=AF，
∵DM=6，AM=4，
∴AB=10，
设FH=DH=x，则MH=6-x，
∵FH∥AB，
∴$\frac{FH}{BA}$=$\frac{MH}{MA}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{6-x}{4}$，
解得x=$\frac{30}{7}$，
∴FH=$\frac{30}{7}$，MH=$\frac{12}{7}$，AH=$\frac{40}{7}$，
∴Rt△AFH中，AF=$\sqrt{（\frac{40}{7}）^{2}+（\frac{30}{7}）^{2}}$=$\frac{50}{7}$，
∴CG=$\frac{50}{7}$，
故答案为：$\frac{50}{7}$．

点评 本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．