Question

10．如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式：
（2）试判断△BOC的形式，并说明理由：
（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x-2）x，然后根据抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），求出a的值即可；
（2）利用两点间距离公式OB²=18，OC²=2，BC²=20，利用勾股定理逆定理即可得出结论．
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

解答 解：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x-2）（x-0），
又∵抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），
∴3（3-2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）x=x²-2x；

（2）由（1）知抛物线解析式为y=x²-2x=（x-1）²-1；
∴C（1，-1），
∵O（0，0），B（3，3），
∴OB²=18，OC²=2，BC²=20，
∴OB²+OC²=BC²，
∴△BOC是直角三角形．

（3）由（2）知，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①如图1，若△PMA∽△COB，
∴$\frac{PM}{OC}=\frac{AM}{OB}$，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
设PM=t，则AM=3t，
∴点P（2-3t，t），
代入y=x²-2x得（2-3t）²-2（2-3t）=t，
解得t=0（舍）或t=$\frac{7}{9}$，
∴P的坐标为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
②如图2，若△PMA∽△BOC，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{OB}{OC}$=3
设PM=3t，则AM=t，
点P（2-t，3t），代入y=x²-2x得（2-t）²-2（2-t）=3t，
解得t₁=0（舍），t₂=5，
∴P（-3，15）
综上所述，点P的坐标为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）或（-3，15）．

点评 此题是二次函数综合题．主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，相似三角形的性质，解（1）的关键是利用待定系数法确定二次函数解析式，解（2）的关键是求出OB²=18，OC²=2，BC²=20，解（3）的关键是建立方程求出点P的坐标．