Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；
（2）点E是否在AB的垂直平分线上？若在，请进行证明；若不在，请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出AO=CO=DO=BO，即可得出四边形OCED的形状；
（2）首先得出△ADE≌△BCE（SAS），进而得出答案．

解答：解：（1）四边形OCED是菱形．
理由：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO=DO=BO，
∴平行四边形OCED为菱形；

（2）AE=BE．
理由：连接AE，BE
∵四边形OCED为菱形，
∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，

AD=BC ∠ADE=∠BCE DE=CE

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．
∴点E在AB的垂直平分线上．

点评：此题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，正确得出△ADE≌△BCE是解题关键．