Question

【题目】如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点.

(1)若，求的长；

(2)过点作的垂线，垂足为，连接，试判断四边形的形状，并说明原因.

Answer 1

【答案】（1）CE＝2；（2）菱形，理由见解析.

【解析】

（1）根据题意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函数可求得CD的长、DE与AE的关系，进一步可得CE与CD的关系，进而可得结果；

（2）根据角平分线的性质可得CF＝GF，根据HL可证Rt△ACF≌Rt△AGF，从而得∠AFC＝∠AFG，由平行线的性质和等量代换可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，进而得CE＝FG，根据一组对边平行且相等可得四边形CEGF是平行四边形，进一步即得结论．

解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，

∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴，

∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，

∴∠ACD＝∠CAF，，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝2；

（2）四边形CEGF是菱形．

证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，

∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，

在Rt△ACF与Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，

∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，

∴CE＝FG，∵CE∥FG，

∴四边形CEGF是平行四边形，

∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF是菱形．