Question

如图，把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，已知正方形的边长为4，那么折痕EF的长为________．

Answer 1

2
分析：过E点作EH⊥BC于H点，MD′交AD于G点，根据折叠的性质得FC=FM，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，且BM=AB=×4=2，设MF=x，则BF=4-x，在Rt△BFM中，根据勾股定理有即x²=（4-x）²+2²，求得x=，则MF=FC=，BF=4-=；易证Rt△AGM∽Rt△BMF，则==，即==，可求得AG=，MG=，再设DE=t，则D′E=t，GE=4-t-=-t，易证得Rt△D′GE∽Rt△AGM，则=，即=，解得t=，于是HC=ED=，FH=4--=2，然后在Rt△EFH中利用勾股定理即可求出EF的长．
解答：过E点作EH⊥BC于H点，MD′交AD于G点，如图，
∵把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，
∴FC=FM，BM=AB=×4=2，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，
设MF=x，则BF=4-x，
在Rt△BFM中，MF²=BF²+BM²，即x²=（4-x）²+2²，
∴x=，
∴MF=FC=，BF=4-=，
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴Rt△AGM∽Rt△BMF，
∴==，即==，
∴AG=，MG=，
设DE=t，则D′E=t，GE=4-t-=-t，
易证得Rt△D′GE∽Rt△AGM，
∴=，即=，解得t=，
∴HC=ED=，
∴FH=4--=2，
在Rt△EFH中，EH=DC=4，FH=2，
∴EF===2．
故答案为2．
点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定以及勾股定理．