Question

4．如图，A、B、C、D在⊙O上，OC⊥AB，垂足为E，∠ADC=30°，⊙O的半径为2．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）由BE、CE及弧BC围成的阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠OBE=30°，解直角三角形得到OE=1，BE=$\sqrt{3}$，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵OC⊥AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∵∠ADC=30°，
∴∠BOC=2∠ADC=60°，

（2）∵∠BOC=60°，OC⊥AB，
∴∠OBE=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OE=1，BE=$\sqrt{3}$，
∴由BE、CE及弧BC围成的阴影部分面积=S_扇形-S_△BOE=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，扇形的面积计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识图是解题的关键．