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    如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点
    （不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
    （1）求证：△ABD∽△DCE；
    （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？
    （3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
    （2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．
    （3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
    解答：（1）证明：
    ∵∠BAC=90°，AB=AC
    ∴∠B=∠C=∠ADE=45°
    ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
    ∴∠BAD=∠CDE
    ∴△ABD∽△DCE；

    （2）由（1）得△ABD∽△DCE，
    ∴=
    ∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
    ∴BC=，DC=-x，EC=1-y，
    ∴=，y=x2-x+1=（x-）2+，
    当x=时，y有最小值，最小值为；

    （3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
    ∴BD=CE，
    ∴x=1-y，即x-x2=x，
    ∵x≠0，
    ∴等式左右两边同时除以x得：x=-1
    ∴AE=1-x=2-，
    当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
    所以，AE=；
    当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
    综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
    AE的长为2-或．
    点评：此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．
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    B、∠1=
    1
    2
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    度．

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    50°
    50°
    ．

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    18
    18
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