Question

如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．
（1）试说明：△AED∽△EHD；
（2）若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质和等角的余角相等，即可证明两个三角形中，有两个角对应相等，从而证明两个三角形相似；
（2）在（1）的基础上，根据相似三角形的性质进行求解．

解答：（1）证明：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=90°，
∴∠AED+∠DEH=90°，∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DEH=∠DAE．
∴△AED∽△EHD．

（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=CD=4．
∵E为CD的中点，
∴DE=2．
∵△AED∽△EHD，
∴

AD

DE

=

DE

DH

，
∴

4

2

=

2

HD

．
∴DH=1．

点评：此题综合运用了正方形的性质、相似三角形的判定及性质．