Question

8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，CF=DF，连接AE、AF、EF，并延长FE交AB的延长线于点G．
（1）若正方形的边长为4，则EG等于3$\sqrt{5}$；
（2）求证：△ECF∽△FDA；
（3）比较∠EAB与∠EAF的大小．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形边长得CF=2，由平行相似得：△FCE∽△GBE，则$\frac{FC}{BG}=\frac{CE}{BE}$，代入求得BG=6，根据勾股定理得：EG=3$\sqrt{5}$；
（2）根据已知边的长度分别求$\frac{EC}{FD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{AD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{EC}{FD}=\frac{CF}{AD}$，再由正方形性质得：∠C=∠D=90°，则△ECF∽△FDA；
（3）先根据（2）中的△ECF∽△FDA，得∠CFE=∠DAF，$\frac{EF}{FA}=\frac{CE}{DF}=\frac{1}{2}$，证明∠EFA=90°，分别计算∠EAB与∠EAF的正切值，根据两锐角正切大的角大，得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=4，∠ABC=90°，DC∥AB，
∵CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2，
∵DC∥AG，
∴△FCE∽△GBE，
∴$\frac{FC}{BG}=\frac{CE}{BE}$，
∵$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{FC}{BG}$=$\frac{1}{3}$，BE=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴$\frac{2}{BG}=\frac{1}{3}$，
∴BG=6，
在Rt△BEG中，EG=$\sqrt{B{E}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$；
故答案为：3$\sqrt{5}$；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD=DC=4，∠C=∠D=90°，
∵DF=FC=2，CE=1，
∴$\frac{EC}{FD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{AD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EC}{FD}=\frac{CF}{AD}$，
∴△ECF∽△FDA；
（3）∵△ECF∽△FDA，
∴∠CFE=∠DAF，$\frac{EF}{FA}=\frac{CE}{DF}=\frac{1}{2}$，
∵∠DFA+∠DAF=90°，
∴∠CFE+∠DFA=90°，
∴∠EFA=90°，
∴tan∠EAF=$\frac{EF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴tan∠EAB=$\frac{EB}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}$，
∴∠EAF＜∠EAB．

点评 本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，把勾股定理与三角函数相结合，求正方形相关的边的长度，同时利用相似的对应角相等证明∠EFA=90°，得直角三角形，利用锐角的正切值，两锐角正切大的角大，判断角的大小．