Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，-4）．　　　　
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞-3，写出x的取值范围；
（3）A、B为直线y=-2x-6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

Answer 1

解：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，-4）在抛物线上，
∴，
解得．
∴二次函数的解析式为：y=x²-6x+5．

（2）在y=x²-6x+5中，令y=-3，即x²-6x+5=-3，
整理得：x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4．
结合函数图象，可知当y＞-3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4．

（3）设直线y=-2x-6与x轴，y轴分别交于点M，点N，
令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-3
∴M（-3，0），N（0，-6），
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3，
∴tan∠MNO==，sin∠MNO==．
设点C坐标为（x，y），则y=x²-6x+5．
过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，OD=-y，DN=6+y．
过点C作直线y=-2x-6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，CF====x．
∴FN=DN-DF=6+y-x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y-x）．
∴CE=CF+EF=x+（6+y-x），
∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x²-6x+5，代入上式整理得：
CE=（x²-4x+11）=（x-2）²+，
∴当x=2时，CE有最小值，最小值为．
当x=2时，y=x²-6x+5=-3，∴C（2，-3）．
△ABC的最小面积为：AB•CE=×2×=．
∴当C点坐标为（2，-3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y＞-3时x的取值范围；
（3）△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=-2x-6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似三角形）等知识点．难点在于第（3）问，确定高CE的表达式是解题的关键所在；本问的另一解法是：直线y=-2x+k与抛物线y=x²-6x+5相切时，切点即为所求的点C，同学们可以尝试此思路，以求触类旁通、举一反三．