【题目】(问题背景)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置,然后再证明△AFE ≌△AFG,从而得出什么结论.
(探索延伸)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
(结论应用)如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏东60°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进,舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进,1小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离.
【答案】(1) (2)
(3) 此时两舰艇之间的距离为180海里.
【解析】
试题问题背景:将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置后,AE=AG,DG=BE,∠EAF=∠FAG=60°,利用SAS证明△AFE ≌△AFG即可得出结论;探索延伸:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,通过SAS可证得△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∠EAF=∠FAG=60°,于是△AEF≌△AGF.EF=FG.所以FG=DG+DF=BE+DF.∴EF=BE+FD仍然成立.结论应用:连接EF,∵∠AOB=140°,∠FOE=70°=∠AOB,又∵OA=OB,∠A+∠B=60°+120°=180°,符合探索延伸中的条件,即结论EF=AE+FB成立.因为AE=80,FB=100,于是求出此时两舰艇之间的距离EF.
试题解析:问题背景:将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置后,AE=AG,DG=BE,∠BAE=∠DAG,∠EAF=60°,∠EAG=120°,所以∠FAG=60°,∠EAG=∠FAG,所以△AFE ≌△AFG(SAS), ∴EF=FG.∵FG=DG+DF,所以EF=BE+FD.探索延伸:EF=BE+FD仍然成立,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,因为AB=AD,∠B=∠ADG=90°,所以△ABE≌△ADG,所以 ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,所以∠EAG=∠FAG=60°,所以△AEF≌△AGF(SAS).∴EF=FG.又∵FG=DG+DF=BE+DF.∴EF=BE+FD.结论应用:连接EF,∵∠AOB=30°+90°+20°=140°,∠FOE=70°=∠AOB,又∵OA=OB,∠A+∠B=60°+120°=180°,符合探索延伸中的条件,∴结论EF=AE+FB成立.因为BF=50×2=100,AE=40×2=80, 所以此时两舰艇之间的距离EF=AE+FB=80+100=180海里,即此时两舰艇之间的距离为180海里.
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【题目】如图,BD是∠ABC平分线,DEAB于E,AB=36cm,BC=24cm,S△ABC =144cm2,则DE的长是( )
A. 4.8cm B. 4.5cm C. 4 cm D. 2.4cm
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【题目】以下列数组作为三角形的三条边长,其中能构成直角三角形的是( )
A. 1, ,3 B.
,
,5 C. 1.5,2,2.5 D.
,
,
【答案】C
【解析】A、12+()2≠32,不能构成直角三角形,故选项错误;
B、(2+(
)2≠52,不能构成直角三角形,故选项错误;
C、1.52+22=2.52,能构成直角三角形,故选项正确;
D、())2+(
)2≠(
)2,不能构成直角三角形,故选项错误.
故选:C.
【题型】单选题
【结束】
3
【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到斜边AB的距离是( )
(A) (B)
(C)9 (D)6
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【题目】某车间计划加工360个零件,由于技术上的改进,提高了工作效率,每天比原计划多加工20%,结果提前10天完成任务,求原计划每天能加工多少个零件?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:AG=CG.
(2)求证:AG2=GEGF.
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【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=﹣2x2+4x+2与C2:u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
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【题目】学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6.点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.
(1)求△ADE的周长;
(2)当t为何值时,△PAE为直角三角形?
(3)是否存在这样的t,使EA恰好平分∠PED,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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