Question

1．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在y轴上，点M在x轴的正方向上，过点M作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点C，OP=3OM．
①当四边形OMCP为矩形时，求OM的长．
②过点C作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，当点P在直线CD的下方时，求CD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设顶点式抛物线的解析式为y=a（x+1）²+k，再把A点和B点坐标代入得到关于k和b的方程，然后解方程即可得到抛物线解析式；
（2）①）①设OM=t＞0，则OP=3t，根据二次函数图象上点的坐标特征，C点坐标可表示为（t，-t²-2t+3），则CM=-t²-2t+3，根据矩形的性质得CM=OP，即-t²-2t+3=3t，解得t₁=$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，t₂=$\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$（舍去），于是得到OM的长；
②利用抛物线的对称性CD=2（t+1）=2t+2，由①得OM=$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$时，四边形OMCP为矩形，此时点P在CD上，所以当点P在直线CD的下方时，t＜$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，接着用CD表示t得到$\frac{CD-2}{2}$＜$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，且CD-2＞0，然后求出两个不等式的公共解即可得到CD的取值范围．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+k，
∵A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=0}\\{a+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）²+4或y=-x²-2x+3；
（2）①设OM=t，则OP=3t，
∵CM⊥x轴，
∴C点坐标为（t，-t²-2t+3），
∴CM=-t²-2t+3，
∵四边形OMCP为矩形，
∴CM=OP，即-t²-2t+3=3t，
整理得t²+5t-3=0，解得t₁=$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，t₂=$\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$（舍去），
∴OM的长为$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$；
②∵抛物线的对称轴是直线x=-1，
∴点C到直线x=-1的距离为t+1，
∵点C与点D关于直线x=-1对称，
∴CD=2（t+1），
由①得OM=$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$时，四边形OMCP为矩形，此时点P在CD上，
∴当点P在直线CD的下方时，t＜$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，
而t=$\frac{CD-2}{2}$＞0，
∴$\frac{CD-2}{2}$＜$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，且CD-2＞0，解得2＜CD＜$\sqrt{37}$-3，
∴CD的取值范围为2＜CD＜$\sqrt{37}$-3．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式．