Question

在半径为R的圆桌面上摆放同样大小的半径为r的硬币．要求硬币不准露出圆桌面边缘，并且所摆硬币彼此不能重叠，当摆放n枚硬币之后圆桌面上不能再多摆放一枚这种硬币了．
求证：

n

r＜R＜(2

n

+1)r．

Answer 1

分析：n枚硬币摆放在圆桌面上，每相邻的两枚硬币之间是两两外切的关系，n枚硬币的面积小于桌面的面积，可以证明

n

r＜R；根据桌面上摆放n枚硬币后不能再多摆放一枚硬币可以证明R＜（2

n

+1）r．

解答：证明：桌面的面积为πR²，n枚硬币的面积为nπr²，
因为硬币不准露出桌面，
所以nπr²＜πR²，即：

n

r＜R．
根据桌面上摆放n枚硬币后不能再多摆放一枚硬币，可以得出硬币之间的空隙面积一定小于硬币面积，
所以，硬币之间的空隙小于nπr²，
∴πR²＜2nπr²，
∴R＜

2n

r，
∴R＜

2n

r＜（2

n

+1）r，
∴

n

r＜R＜(2

n

+1)r．

点评：本题考查的是相切两圆的性质，硬币摆放在桌面上，相邻的两枚硬币之间是两两外切的关系，根据要求硬币不准露出桌面边缘，当摆放n枚硬币后不能再放一枚硬币，可以证明R与r之间的关系．