Question

数学问题：计算

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为

1

2

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为

1

2

+

1

22

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

，最后空白部分的面积是

1

2n

．
根据第n次分割图可得等式：

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．

探究二：计算

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为

2

3

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为

2

3

+

2

32

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

，最后空白部分的面积是

1

3n

．
根据第n次分割图可得等式：

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

=1-

1

3n

，
两边同除以2，得

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

=

1

2

-

1

2×3n

．

探究三：计算

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式：

 

，
所以，

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

=

 

．
拓广应用：计算 

5-1

5

+

52-1

52

+

53-1

53

+…+

5n-1

5n

．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图,规律型：图形的变化类

专题：压轴题,阅读型,规律型

分析：探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m-1）即可得解；
拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．

解答：解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，

其中阴影部分的面积为

3

4

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为

3

4

+

3

42

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

，
最后的空白部分的面积是

1

4n

，
根据第n次分割图可得等式：

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=1-

1

4n

，
两边同除以3，得

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

=

1

3

-

1

3×42

；

解决问题：

m-1

m

+

m-1

m2

+

m-1

m3

+…+

m-1

mn

=1-

1

mn

，

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

=

1

m-1

-

1

(m-1)×mn

；
故答案为：

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=1-

1

4n

，

1

m-1

-

1

(m-1)×mn

；


拓广应用：

5-1

5

+

52-1

52

+

53-1

53

+…+

5n-1

5n

，
=1-

1

5

+1-

1

52

+1-

1

53

+…+1-

1

5n

，
=n-（

1

5

+

1

52

+

1

53

+…+

1

5n

），
=n-（

1

4

-

1

4×5n

），
=n-

1

4

+

1

4×5n

．

点评：本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．