Question

如图，已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若在x轴下方且平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，若以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径；
（3）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）；

（2）设所求圆的半径为r（r＞0），M在N的左侧，
由题意可知所求圆的圆心在抛物线的对称轴
x=1上，
作NG⊥x轴于点G，
∵所求圆与x轴相切，MN∥x轴，且圆心在x轴下方，
∴N（r+1，-r），
∵N（r+1，-r）在抛物线y=x²-2x-3上，
∴-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得，（负值舍去）
∴．

（3）∵抛物线的对称轴为x=1，设P（1，m），
在Rt△AOC中，AC²=1+3²=10，
在Rt△APE中，PA²=m²+4，
在Rt△PCF中，PC²=（m+3）²+1=m²+6m+10，
①若PA=PC，则PA²=PC²，得：
m²+4=m²+6m+10，解得：m=-1；
②若PA=AC，则PA²=AC²，得：
m²+4=10，解得：m=；
③若PC=AC，则PC²=AC²，得：
m²+6m+10=10，解得：m=0或m=-6；
当m=-6时，P、A、C三点共线，不合题意，舍去，
∴符合条件的P点的坐标分别为：
P₁（1，）、P₂ （1，）、P₃ （1，-1），P₄ （1，0）．
分析：（1）配方后即可确定其顶点坐标和对称轴；
（2）设出圆的半径表示出点N的坐标，然后根据N点在抛物线上求得圆的半径即可；
（3）分PA=PC、PA=AC和PC=AC三种情况分类讨论即可得到结论．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是顶点坐标、对称轴的确定是进一步解题的依据，比较重要．