Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点．将△ACD绕点C逆时针旋转90°到△BCE．
（1）在图中画出△BCE，井简要说明作图过程；
（2）若AC=$\sqrt{2}$，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；
（2）根据旋转的性质，得出∠CBE=∠ABC=45°，AD=BE，再根据勾股定理求得线段AE的长．

解答 解：（1）如图所示，因为∠ACB=90°，AC=BC，所以点A绕点C逆时针旋转90°与点B重合，将点D绕点C逆时针旋转90°得到点E，连接BE，CE，则△BCE即为所求；


（2）由旋转可得，∠CBE=∠ABC=45°，AD=BE，
∴∠ABE=90°，
∵等腰直角三角形ABC中，AC=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=2，
又∵D为AB的中点，
∴AD=1=BE，
∴Rt△ABE中，AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了利用旋转的性质进行作图以及勾股定理的运用，解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．