Question

3．有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；
（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；
（3）连接AD、BC相交于点E；
（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．
你认为他这种作法对吗？试说明理由．

Answer 1

分析 利用全等三角形的判定与性质得出△OBC≌△OAD（SAS），进而得出△CAE≌△DBE（ASA），再求出△OOE≌△DOE（SSS），即可得出答案．

解答 解：正确，
理由：由题意可得；AO=BO，CO=DO，
在△OBC和△OAD中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOC=∠AOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OAD（SAS），
∴∠OCB=∠ODA，∠OAD=∠OBC，
∴∠CAE=∠DBE，
在△CAE和△DBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BDE}\\{AC=BD}\\{∠CAE=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△DBE（ASA），
∴CE=ED，
在△OOE和△DOE中
$\left\{\begin{array}{l}{CO=OD}\\{OE=OE}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠CAE=∠DOE，
即OE为∠MON的平分线．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及基本作图，得出△OOE≌△DOE是解题关键．