Question

如图，已知C、D是双曲线，y=在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），连接OC、OD．
（1）求证：y₁＜OC＜y₁+；
（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana=，OC=，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y₁，OG=x₁．
∵点C（x₁，y₁）在双曲线y=上，
∴x₁=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，∴y₁＜OC＜y₁+

（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
tana=，即，y₁=3x₁
∵OC²=OG²+CG²，OC=，
∴10=x₁²+y₁²，即10=x₁²+（3x₁）²
解之，得x₁=±1．∵负值不合题意，∴x₁=1，y₁=3．∴点C的坐标为（1，3）．
∵点C在双曲线y=上，
∴3=，即m=3
∴双曲线的解析式为y=
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tana===，即x₂=3y₂
又y₂=，则3y₂²=3．
解之，得y₂=±1．
∵负值不合题意，∴y₂=1，x₂=3
∴点D的坐标为（3，1）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
则有，解得．
∴直线CD的解析式为y=-x+4．

（3）解：双曲线y=上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，这个点P就是
∠COD的平分线与双曲线y=的交点
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD====OC
∴S_△POD=S_△POC．
分析：（1）过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y₁，OG=x₁，根据直角三角形中斜边大于直角边，以及两边之和大于第三边即可求解；
（2）已知OC的长，以及tanα的值，在直角△OCG中，即可解得OG，CG的长，得到C点的坐标；利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，再根据tanα的值即可求得D点的坐标，把C，D两点的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（3）根据C，D两点的坐标可以得到OC=OD，使S_△POC=S_△POD，即P到OC与OD的距离相等，则P一定在∠COD的角平分线上，即是∠COD的平分线与双曲线y=的交点．
点评：本题综合运用了三角形的边的关系定理，待定系数法求函数解析式，以及角平分线的性质，是一个难度较大的综合题．