精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．且 $数学公式$ ，BC=3，∠BCA=45°，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

解：（1）CF⊥BD，CF=BD．
证明：选择图2证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中 $\text{[math]}$ ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD．

（2）如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接CF．
∴∠AGD=90°，
∴∠ADG+∠GAD=90°，
∵CF⊥BD．
∴∠PCD=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠ADG+∠PDC=90°，

∴∠ADG=∠DPC，∠PDC=∠GAD，
∴△AGD∽△DCP，
∴ $\text{[math]}$ ，
即AG•CP=GD•DC，
在等腰Rt△AGC中，
∵AC= $\text{[math]}$ ，
∴AG=GC=4，
设GD=x，
则DC=4-x，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CP= $\text{[math]}$ x（4-x），
∴ $\text{[math]}$ ，
当x=2时，CP取得最大值，最大值为1．

分析：（1）首先选择图2证明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四边形ADEF是正方形，易证得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，证得CF⊥BD；
（2）首先作辅助线：过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得：AG•CP=GD•DC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，设GD=x，即可求得CP关于x的二次函数，求得最大值．
点评：此题考查了全等三角形与相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数最大值问题．此题综合性很强，解题时要注意数形结合思想的应用．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：

；
（3）如图2，当PC是圆O的切线，E为AD中点，BC=8，求AD的长．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说

明理由．