Question

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠ABC=67.5°，点D是BC的中点，BE⊥AC于点E，交AD于点F，求证：AF=BC；
（2）Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=67.5°，
①如图2，以AB为斜边作等腰Rt△ABE，BE交AC于点F，判断AF和BC的数量关系，并说明理由；
②如图3，点D在AB边上，且AD=

1

3

AB，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，DE交AC于点F，请写出AF和BC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由∠ABC=67.5°可以求出∠BAC=45°，就可以得出AE=BE就可以得出△AEF≌△BEC就可以得出结论；
（2）①延长BC、AE交于点G，由等腰三角形的性质就可以得出△AEF≌△BEG，就有AF=BG，求出∠ABC=∠AGC，由等腰三角形的性质就可以得出BG=2BC，进而得出结论．
②延长BC、AE交于点G，作BH⊥AG于H交AC于M，就可以得出DE∥BH，由平行线的性质就可以得出

AF

AC

=

1

3

，由等腰三角形的性质就可以得出△AEF≌△BEG，就有AF=BG，求出∠ABC=∠AGC，由等腰三角形的性质就可以得出BG=2BC，就可以求出结论．

解答：（1）证明：如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=45°．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°．
∴∠ABE=45°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE．
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°．
∴∠DAC=∠CBE．
在△AEF和△BEC中，

∠DAC=∠CBE ∠AEB=∠BEC AE=BE

，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF=BC；
（2）①AF=2BC．
理由：解：如图2，延长BC、AE交于点G．
∵△ABE是的等腰直角三角形，∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，AE=BE，∠BEG=∠AEB=90°．
∴∠G+∠GBE=90°．
∵∠BAE+∠ABG+∠G=180°，且∠ABC=67.5°，
∴∠G=67.5°，
∴∠ABC=∠G，
∴AB=AG．
∵∠ACB=90°，
∴BG=2BC，∠G+∠GAC=90°，
∴∠GAC=∠GBE．
在△AEF和△BEG中

∠GAC=∠GBE ∠AEB=∠BEG AE=BE

，
∴△AEF≌△BEG（AAS），
∴AF=BG，
∴AF=2BC；
②BC=

3

2

AF．
理由：解：如图3，延长BC、AE交于点G，作BH⊥AG于H交AC于M
∴∠BHA=∠BHG=90°．
∴∠G+∠GBH=90°
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠ADE=45°，AE=DE，∠AED=90°，
∴∠AED=∠BHA，
∴DE∥BH，
∴

AD

AB

=

AF

AM

．
∵AD=

1

3

AB，
∴

AF

AM

=

1

3

，
∴AM=3AF．
∵∠BAE+∠ABC+∠G=180°，且∠DAE=45°，∠ABC=67.5°，
∴∠G=67.5°．∠ABH=45°．
∴∠G=∠ABC，∠ABH=∠BAH
∴AB=AG，AH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴BG=2BC，∠ACG=90°，
∴∠G+∠CAG=90°，∠AHM=∠BHG，
∴∠GBH=∠CAH．
在△AMH和△BGH中

∠AHM=∠BHG ∠CAH=∠GBH AH=BH

，
∴△AMH≌△BGH（AAS），
∴AM=BG，
∴BG=3AF，
∴2BC=3AF，
∴BC=

3

2

AF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线分线段成比例定理的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键，作出合理的辅助线是难点．