Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延长BO₁、CA交于点P、PB与⊙O₁交于点D．
（1）求证：AC是⊙O₁的切线；
（2）连接AD、O₁C，求证：AD∥O₁C；
（3）如果PD=1，⊙O₁的半径为2，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）证AC是圆O₁的切线，可连接O₁A然后证O₁A⊥PC即可，可通过∠PAO₁是圆O₂的内接四边形的外角来求解．
（2）证AD∥O₁C，就是证∠PAD=∠O₁CA，可通过与两角相等的中间角来求解；连接BA，那么∠O₁BA就是与两角相等的中间角．（主要应用弦切角和圆周角定理来求解）．
（3）由于BC，AC同与圆O₁相切，因此根据切线长定理AC=BC，那么求BC也就是求AC的长，有了PD和⊙O₁的半径即O₁D，O₁B的值，那么可根据切割线定理求出PA，由（2）得出的平行线，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于PA，PC，PD，PO的比例关系，而PD，DQ₁，PA的值都已知，因此可求出AC的长，也就求出了BC的长．

解答：（1）证明：连接O₁A；
∵BC是⊙O₁的切线，
∴∠O₁BC=90°．
∵∠O₁AP是圆O₂的内接四边形的外角，
∴∠PAO₁=∠O₁BC=90°，
∴Q₁A⊥AC，
则AC是⊙O₁的切线．

（2）证明：连接AB，
∵PC切⊙O₁于点A，
∴∠PAD=∠ABD．
∵∠ACO₁=∠ABO₁，
∴∠PAD=∠ACO₁，
∴AD∥O₁C．

（3）解：∵PC是⊙O₁的切线，PB是⊙O₁的割线，
∴PA²=PD•PB．
∵PD=1，PB=5，
∴PA=

5

，
∵PC是⊙O₁的切线．
又∵AD∥O₁C．
∴

PD

DO1

=

PA

AC

．
∴

1

2

=

5

AC

．
∴AC=2

5

．
∵AC，BC都是⊙O₁的切线，
∴BC=AC=2

5

．

点评：本题主要考查了切线的判定，切线长和切割线定理，圆周角定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．