Question

19．在平面直角坐标系中，已知y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在y轴上，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，求点C的坐标．（作出图形，并写出求解过程）

Answer 1

分析 对于直线解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而求得OB′的长，由折叠的性质得到∠ABC=∠AB′C，即可证得△AOB∽△COB′，根据根据相似三角形的性质求出OC的长，即可求得C的坐标．

解答 解：对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，3），
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
如图1，由折叠的性质得：∠ABC=∠AB′C，AB=AB′=5，
∴OB′=AB′-OA=5-4=1，
∴△AOB∽△COB′，
OC：OA=OB′：OB=1：3，
则OC=4×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴C（0，$\frac{4}{3}$）．
如图2，由折叠的性质得：∠ABC=∠AB′C，AB=AB′=5，
∴OB′=AB′+OA=5+4=9，
∴△AOB∽△COB′，
OC：OA=OB′：OB=3：1，
则OC=4×3=12，
∴C（0，-12）

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，轴对称性质，以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．