Question

7．已知矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=$2\sqrt{3}$，将该矩形纸片沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图1），再将这两张三角形纸片摆成如图2的形状，使得点B、C、F、D在同一直线上，且点C与点F重合．此时将△ABC以每秒1个单位长度的速度沿直线BD向左平移，直至点B与点D重合时停止运动．设△ABC运动的时间为t，
（1）当t为何值时，点E落在线段AC上？
（2）设在平移的过程中△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相对应t的取值范围；
（3）当点B与点D重合时如图3，将△ABC绕点B旋转得到△A₁BC₁，直线EF分别与直线A₁B、直线A₁C₁交于点M、N，是否存在这样的点M、N，使得△A₁MN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段EM的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当点E落在AC上时，解Rt△CDE，由CD=t-6，DE=2$\sqrt{3}$，∠DCE=60°，可得$\sqrt{3}$CD=DE，即$\sqrt{3}$（t-6）=2$\sqrt{3}$，解方程即可；
（2）△ABC沿直线BD向左平移时，因为△ABC与△DEF重叠部分的形状不同，可以分四种情况进行讨论：①当0≤t≤2$\sqrt{3}$时，重叠部分为直角三角形CMF；②当2$\sqrt{3}$＜t≤6时，重叠部分为四边形BCNM；③当6＜t≤8时，重叠部分为五边形BDPNM；④当8＜t≤6+2$\sqrt{3}$时，重叠部分为直角梯形BMED；分别求出面积即可；
（3）当点B与点D重合时，如果△A₁MN为等腰三角形，可分三种情况进行讨论：①A₁M=A₁N；②MA₁=MN；③NA₁=NM．

解答 解：（1）由题意知，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠CAB=∠DFE=30°．
当点E落在AC上时，CD=t-6，DE=2$\sqrt{3}$，∠DCE=60°，
则$\sqrt{3}$CD=DE，即$\sqrt{3}$（t-6）=2$\sqrt{3}$，
解得t=8；

（2）分四种情况：
①当0≤t≤2$\sqrt{3}$时，如图1．
在△CFM中，
∵∠MCF=60°，∠CFM=30°，
∴∠CMF=90°，
∵CF=t，
∴CM=$\frac{1}{2}$t，FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$CM•FM=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²；
②当2$\sqrt{3}$＜t≤6时，如图2．
在Rt△BFM中，
∵∠F=30°，BF=CF-BC=t-2$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-2，
∴AM=AB-BM=6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+2=8-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴MN=$\frac{1}{2}$AM=4-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，AN=$\sqrt{3}$MN=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t，
∴S=S_△ABC-S_△AMN
=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t）（4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$t²+2t-2$\sqrt{3}$；
③当6＜t≤8时，如图3．
在Rt△CDP中，
∵∠CPD=30°，CD=t-6，
∴PD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$（t-6），
∴S=S_△ABC-S_△AMN-S_△CPD
=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$t²+2t-2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（t-6）×（t-6）
=-$\frac{13\sqrt{3}}{24}$t²+（6$\sqrt{3}$+2）t-20$\sqrt{3}$；
④当8＜t≤6+2$\sqrt{3}$时，如图4．
∵CD=t-6，
∴BD=BC-CD=2$\sqrt{3}$+6-t．
在Rt△BFM中，
∵∠F=30°，BF=CF-BC=t-2$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（BM+DE）•BD
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-2+2$\sqrt{3}$）（2$\sqrt{3}$+6-t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²+2t+4$\sqrt{3}$；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
$S=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{8}{t^2}（0≤t≤2\sqrt{3}）\\-\frac{{\sqrt{3}}}{24}{t^2}+2t-2\sqrt{3}（2\sqrt{3}＜t≤6）\\-\frac{13}{24}\sqrt{3}{t^2}+（6\sqrt{3}+2）t-20\sqrt{3}（6＜t≤8）\\-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{t^2}+2t+4\sqrt{3}（8＜t≤6+2\sqrt{3}）\end{array}\right.$；

（3）存在这样的点M、N，理由如下：
由题意得△A₁MN∽△FMB，
即当△A₁MN为等腰三角形时，△FMB也为等腰三角形．
①如图5，当A₁M=A₁N时，即FB=FM=6，
若点M在线段EF上时，EM=EF-FM=4$\sqrt{3}$-6；
若点M在线段EF的延长线上时，EM=EF+FM=4$\sqrt{3}$+6；
②如图6，当MA₁=MN时，即MB=MF，则点M在线段BF的中垂线上，过M作MT⊥BF于点T，则BT=FT=3，
∴MT=$\sqrt{3}$，MF=$2\sqrt{3}$，
∴EM=EF-MF=4$\sqrt{3}$-$2\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$；
③当NA₁=NM时，即BM=BF=6，但是BA₁=BF=6，所以A₁、M、N三点重合，不合题意；
综上所述，存在这样的点M、N，使得△A₁MN为等腰三角形，此时线段EM的长度为4$\sqrt{3}$-6或4$\sqrt{3}$+6或$2\sqrt{3}$．

点评 本题是几何变换综合题，其中涉及到矩形的性质，平移的性质，多边形的面积，解直角三角形，等腰三角形的性质，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．