Question

2．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，CF垂直平分BE于点G，交AB于点F，连接DG、CE交于点H．若DE=2AE，则给出下列结论：①DG=CG；②3AF=2BF；③DG平分∠EGC；④EH=$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$HD．其中正确的结论是（　　）

• A． 只有①②
• B． 只有①②④
• C． 只有③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 过G作GM垂直于CD，利用垂直的定义得到一对同旁内角互补，进而得到AD与GM平行，根据G为EB中点，利用平行线等分线段定理得到M为CD中点，进而得到GM垂直平分CD，利用线段垂直平分线定理得到GD=DC，选项①正确；CF垂直平分EB，得到CE=CB，利用矩形的对边相等得到AD=BC，AB=DC，设BC=3，根据ED=2AE，得到DE=2，AE=1，在直角三角形EDC中，利用勾股定理求出CD的长，即为AB的长，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出BE的长，确定出BG的长，由三角形BFG与三角形ABE相似，利用相似得比例求出FG的长，利用勾股定理求出FB的长，由AB-FB求出AF的长，确定出AF与BF的关系，即可对于选项②做出判断；若DG为平分线，得到∠DGC=45°，由GD=GC，利用等边对等角得到两底角度数，进而求出∠BCG度数，确定出∠ECD=45°，即三角形EDC为等腰直角三角形，可得出ED=DC，但是两线段不相等，矛盾，选项③错误；过G作GM⊥AD，过H作HN⊥AD，利用等边对等角及矩形的性质得到∠NDH=∠BCG，设HD=x，再利用同角的余角相等及等量代换得到∠GBF=∠NDH，利用锐角三角函数定义表示ND与NH，由ED-ND表示出EN，利用勾股定理表示出EH，确定出EH与HD的关系，即可对于选项④做出判断．

解答 解：过G作GM⊥CD，
∴∠GMD+∠ADC=180°，
∴AD∥GM，
∵ED∥GM∥BC，且G为EB的中点，
∴M为CD中点，即GM垂直平分CD，
∴DG=CG，选项①正确；
∵CF垂直平分BE，
∴CE=CB，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，
设AD=BC=EC=3，
∵DE=2AE，
∴AE=1，DE=2，
在Rt△DEC中，根据勾股定理得：CD=$\sqrt{C{E}^{2}-E{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵∠ABE=∠GBF，∠A=∠BGF，
∴△BFG∽△BEA，
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BG}{AB}$，即$\frac{FG}{1}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{5}}$，
解得：FG=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
在Rt△BGF中，根据勾股定理得：BF=$\sqrt{F{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴AF=AB-BF=$\sqrt{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴3AF=2BF，选项②正确；
若DG平分∠EGC，则有∠DGC=45°，
∵GD=GC，
∴∠GDC=∠GCD=67.5°，
∴∠BCG=22.5°，
∴∠BCE=45°，
∴∠ECD=45°，
∴△EDC为等腰直角三角形，
∴ED=DC，
但是ED=2，DC=$\sqrt{5}$，不相等，矛盾，假设错误，
故选项③错误；

过G作GM⊥AD，过H作HN⊥AD，
∵GD=GC，
∴∠GDC=∠GCD，
∴∠NDH=∠GCB，
∵∠BCG+∠CBG=90°，∠CBG+∠FBG=90°，
∴∠BCG=∠FBG，
∴∠NDH=∠FBG，
∴cos∠FBG=cos∠NDH=$\frac{BG}{FB}$=$\frac{ND}{DH}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
设DH=x，则ND=$\frac{\sqrt{30}}{6}$x，EN=2-$\frac{\sqrt{30}}{6}$x，NH=xsin∠NDH=$\frac{FG}{FB}$x=$\frac{\frac{\sqrt{30}}{10}}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$x=$\frac{\sqrt{150}}{30}$x，
根据勾股定理得：EH²=EN²+NH²=$\frac{3}{10}$x²=$\frac{3}{10}$DH²，
开方得：EH=$\frac{\sqrt{30}}{10}$DH，选项④正确，
综上，正确的选项为①②④．
故选B．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．