Question

14．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．
（1）求一次函数解析式；
（2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D点处，求直线BC的表达式；
（3）是否存在x轴上一个动点P，使△ABP为等腰三角形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法将点A、B的坐标代入一次函数解析式即可求得k与b的值，从而得到解析式；
（2）利用翻折性质及勾股定理求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）分别利用当AB=P₁B时，当AB=AP₂时，当P₃A=P₃B时，当AB=AP₄时，求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，
∵A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）由题意得OA=4，OB=3，∴AB=5，
由翻折可得OC=CD，BD=BO=3，∴AD=2．
设CD=OC=x，则AC=OA-OC=4-x．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD²+AD²=AC²，
即：x²+2²=（4-x）²
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B（0，3）、C（$\frac{3}{2}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m=-2}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=-2x+3．

（3）当AB=P₁B时，∵AO=4，∴OP₁=AO=4，故点P₁（-4，O），
当AB=AP₂时，∵BO=3，AO=4，∴AB=5，则OP₂=AB-AO=1，则点P₂（-1，0）
当P₃A=P₃B时，∵BO=3，AO=4，∴AB=5，
设OP₃=x，则BP₃=4-x，故3²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
故点P₃（$\frac{7}{8}$，0）
当AB=AP₄时，∵BO=3，AO=4，∴AB=5，则AP₄=AB=5，故点P₄（9，0），
综上所述：P点坐标为：（-4，0），（-1，0），（9，0），（$\frac{7}{8}$，0）．

点评 本题主要考查了等腰三角形性质，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．