Question

6．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交点重合，如图（1），则阴影部分面积是正方形A的面积的$\frac{1}{8}$，若将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合，按图（2），则阴影部分面积是正方形B面积的（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的$\frac{1}{4}$，再求出正方形A的面积，同理可得图（2）中的阴影部分的面积等于正方形A的面积的$\frac{1}{4}$，然后整理即可得解．

解答 解：如图，设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，
过点O作边的垂线，则OE=OM，∠EOM=90°，
∵∠EOF+∠EON=90°，∠MON+∠EON=90°，
∴∠EOF=∠MON，
在△OEF和△OMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOF=∠MON}\\{OE=OM}\\{∠OEF=∠OMN=90°}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△OMN（ASA），
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{4}$S，
∵阴影部分面积是正方形A面积的$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{4}$S=$\frac{1}{8}$S_A，
∴S_A=2S，
同理可得，图（2）中阴影部分的面积=$\frac{1}{4}$S_A，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{4}$×2S=$\frac{1}{2}$S，
∴阴影部分面积是正方形B面积的$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．