Question

15．已知，如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A、M的圆交AB于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，求证：DE=$\frac{1}{2}BC$．

Answer 1

分析 利用平行线的性质和圆周角定理得出∠DEM=∠EMC，∠DAM=∠DEM，利用直角三角形的性质得出△ABM是等腰三角形，进一步得出∠MBA=∠BAM，代换得出∠DBM=∠EMC，证得BD∥EM，得出四边形DEMB是平行四边形，得出DE=BM，进一步得出结论即可．

解答 证明：如图，

连接AM、ME，
∵DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMC，
∵∠DAM=∠DEM，
∵△ABC是直角三角形，
∴BM=CM=AM，
∴△ABM是等腰三角形，
∴∠MBA=∠BAM，
∴∠DBM=∠EMC，
∴BD∥EM，
∴四边形BMED是平行四边形，
∴DE=BM，
∵BM=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 此题考查平行线的判定与性质，圆周角定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，结合图形，正确作出辅助线解决问题．