Question

7．如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角度到△ADE的位置，设BC与DE交于M点，连接AM．求证：
（1）BC=DE；
（2）∠DMB=∠EAC；
（3）MA平分∠DMC．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，可得△ABC与△ADE的关系，根据全等三角的性质，可得答案；
（2）根据旋转角相等，可得∠DAB与∠EAC的关系，根据三角形的内角和定理，可得答案；
（3）根据全等三角形的对应高线相等，可得AF与AH的关系，根据HL，可得三角形全等，再根据全等三角形的性质，可得答案．

解答 解：（1）由旋转的性质，得
△ABC≌△ADE，
由全等三角形的对应边相等，得
BC=DE；
（2）由旋转角相等，得
∠DAB与∠EAC．
由三角形的内角和定理，得
∠D+∠DAB+∠1=180°，∠B+∠2+∠DMB=180°．
即∠D+∠DAB+∠1=∠B+∠2+∠DMB，
由等式的性质，得
∠DMB=∠EAC；
（2）作AF⊥DE与F，作AH⊥BC与H，
由全等三角形对应的高线相等，得
AF=AH．
在Rt△AFM和Rt△AHM中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AH}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFM≌Rt△AHM  （HL）
∴∠FMA=∠HMA，即∠DMA=∠CMA，
∴MA平分∠DMC．

点评 本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质：旋转前后的图形全等，旋转角相等，还利用了全等三角形的判定与性质．