Question

12．如图所示，已知OA平分∠BAC，0B=OC，求证：AB=AC．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，根据角平分线的性质得OD=OE，再根据“HL”证明Rt△BOD≌Rt△COE，得到∠DBO=∠ECO，由OB=OC得到∠OBC=∠OCB，所以∠ABC=∠ACB，然后根据等腰三角形的判定即可得到AB=AC．

解答 证明：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，
∵OA平分∠BAC，
∴OD=OE，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DOB+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．