Question

如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）。
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点），猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）在ΔABC和ΔAEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在ΔABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP；
（2） 答：□APCD是矩形，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知 ∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，则AC=PD，
∴□APCD是矩形；
（3）答：EM=EN，
∵EA=EP，
∴∠EPA=90°-α，
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-α）=90°+α，
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，
即∠MEA=∠NEP，
∴ΔEAM≌ΔEPN，
∴EM=EN。