Question

13．（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设$p=\frac{1}{2}（{a+b+c}）$，则这个三角形的面积为$s=\sqrt{p（{p-a}）（{p-b}）（{p-c}）}$．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．

Answer 1

分析 （2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得；
（3）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得IF=IH=IG，再根据S_△ABC=S_△ABI+S_△ACI+S_△BCI即可求得IF的长．

解答 解：（1）如图：

在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD=x，那么DC=a-x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h²=c²-x²=b²-（a-x）²，
解出x得x=$\sqrt{\frac{{c}^{2}-{b}^{2}+{a}^{2}}{2a}}$，
于是h=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{{c}^{2}-{b}^{2}+{a}^{2}}{2a}）^{2}}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$a$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{{c}^{2}-{b}^{2}+{a}^{2}}{2a}）^{2}}$
即S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2}}）^{2}$，
令p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到$s=\sqrt{p（{p-a}）（{p-b}）（{p-c}）}$；

（2）由题意，得：a=4，b=5，c=6；
∴p=$\frac{a+b+c}{2}$=$\frac{15}{2}$；
∴S=$\sqrt{\frac{15}{2}×（\frac{15}{2}-4）×（\frac{15}{2}-5）×（\frac{15}{2}-6）}$=$\sqrt{\frac{15}{2}×\frac{7}{2}×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$，
故△ABC的面积是$\frac{15\sqrt{7}}{4}$；

（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，

∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF=IH=IG，
∵S_△ABC=S_△ABI+S_△ACI+S_△BCI，
即$\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$=$\frac{1}{2}$×6•IF+$\frac{1}{2}$×5•IG+$\frac{1}{2}$×4•IH，
∴3•IF+$\frac{5}{2}$•IF+2•IF=$\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$，
解得IF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故I到AB的距离为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．