Question

如图①，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为-1．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；
（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：y=-x+3，
当x=0时，y=3，
∴B（0，3），
把x=-1代入y=-x+3得：y=4，
∴D（-1，4），
当y=0时，0=-x+3，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线过A（3，0），O（0，0），
把D（-1，4）代入y=ax²+bx+c=a（x-0）（x-3）得：4=a（-1-0）（-1-3），
∴a=1，
∴y=（x-0）（x-3），
即抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）解：设H（x，0），
则P（x，-x+3），Q（x，x²-3x），
∴PH=-x+3，QH=3x-x²，
∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，
∴=或=2，
即=或=2，
解得：x₁=2，x₂=3（舍去），x₃=3（舍去），x₄=，
∴H点的坐标是（2，0）或（，0）．

（3）解：分为三种情况：
①若∠BAC=90°，设C（x，x²-3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴tan∠OAC=1，
∴=1，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴C（1，-2）；
②若∠ABC=90°时，
∵∠OBA=45°，
∴∠OBC=45°，
设直线BC交于x轴于E，其解析式是y=kx+3，
∴OE=OB=3，
∴E（-3，0），
代入得：0=-3k+3，
∴k=1，
∴y=k+3，
解方程组得：，，
∴C（2+，5-）或（2-，5-）；
③若∠ACB=90°时，设C（n，k），
AC²+BC²=AB²，
即（n-3）²+k²+n²+（k-3）²=18，
n²-3n+k²-3k=0，
∵k=n²-3n，
代入求出k₁=0，k₂=2，
∴n²-3n=0，n²-3n=2，
解得：n₁=0，n₂=3（舍去），n₃=，n₄=，
∴C（0，0）或（，2）或（，2），
综合上述：存在，点C的坐标是（1，-2）或（2+，5+）或（2-，5-）或（0，0）或（，2）或（，2）．
分析：（1）求出B、D、A的坐标，把D的坐标代入y=a（x-0）（x-3）求出a即可；
（2）设H（x，0），得出P（x，-x+3），Q（x，x²-3x），求出PH和QH，根据三角形的面积得出=和=2，代入求出即可；
（3）分为三种情况：①若∠BAC=90°，设C（x，x²-3x），tan∠OAC=1，代入求出即可；②若∠ABC=90°时，得出求出直线BC的解析式，和抛物线的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；③若∠ACB=90°时，设C（n，k），根据勾股定理得出AC²+BC²=AB²，代入得到（n-3）²+k²+n²+（k-3）²=18，求出即可．
点评：本题考查了三角形的面积，勾股定理，用待定系数法求出二次函数的解析式，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，本题难度偏大，对学生有较高的要求，分类讨论思想的运用．