Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx-

3

2

的对称轴为直线x=1，直线y=kx+b与抛物线交于A、B两点，且过点D（1，1），点B在y轴的左侧，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，∠ABC=45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标及BC的长．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的对称轴方程x=1，可求出m的值，进而可求出抛物线的解析式；
（2）BC平行于x轴，且∠ABC=45°，所以直线y=kx+b与x轴的正半轴或负半轴所成的角为45°，因而，直线y=kx+b与直线y=x或y=-x平行，即k=1或k=-1．
又直线y=kx+b经过点D（1，1），所以可求出直线的解析式，在分两种情况分别讨论不同情况下的直线解析式即可求出A和B的坐标，进而求出BC的长．

解答：解：（1）据题意有-

m

2× 1 2

=1，
∴m=-1．
即抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

．
（2）∵BC平行于x轴，且∠ABC=45°，
∴直线y=kx+b与x轴的正半轴或负半轴所成的角为45°．
因而，直线y=kx+b与直线y=x或y=-x平行．
即k=1或k=-1．
又∵直线y=kx+b经过点D（1，1），
∴1=1+b或1=-1+b，得b=0或b=2，
即直线y=kx+b的解析式为y=x或y=-x+2．
当直线y=kx+b的解析式为y=x时（如图1）
由x═

1

2

x²-x-

3

2

得x₁=2+

7

，x₂=2-

7

．
∵点B在y轴的左侧，
∴A、B两点的坐标分别为（2+

7

，2+

7

），（2-

7

，2-

7

）．
此时，BC的长为2[1-（2-

7

）]=2

7

-2．
当直线y=kx+b的解析式为y=-x+2（如图2）
由-x+2=

1

2

x²-x-

3

2

，得x₁=

7

，x₂=

7

．
∵点B在y轴的左侧，
∴A、B两点的坐标分别为（

7

，-

7

+2）、（-

7

，

7

+2）．
此时，BC的长为2[1-（-

7

）]=2

7

+2．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数的解析式确定、函数图象交点坐标的求法，同时考虑了分类讨论的数学思想，难度较大．