Question

如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，AC=2，则四边形ABCD的面积为

1. A.
   4
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：连接BD，在AC上取CE=CD，连接DE，作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，先证明△ABD是等边三角形，再证明△CDE同样是等边三角形，可得BC+CD=AC=2，在构造的直角三角形中利用三角函数分别求出△ABC和△ACD的高，根据四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD即可求解．
解答：解：连接BD，
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形．
在AC上取CE=CD，连接DE，
∵∠ECD=∠ABD=60°，
∴△CDE同样是等边三角形，
∴CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，
∴∠ADE=∠BDC，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，
∴BC+CD=AC=2
作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，
∠ACB=∠ADB=60°（同弧圆周角相等）
AF=ACsin60°=×2=
同理，AG=ACsin60°=，
四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD=BC•AF+AG•CD=×（BC+CD）=AC=．
故选D．
点评：本题难度比较大，其中涉及了多步辅助线的作法．分析题意正确地作出辅助线是解题的关键．其中在AC上取CE=CD，连接DE，构造等边三角形是个难点．求出BC+CD=AC=2是求四边形面积的关键步骤．