Question

10．如图，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？

Answer 1

分析 分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB=2t，CQ=3t，AP=22-2t，AQ=28-3t，利用三角形全等得PA=AQ，即22-2t=28-3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t-28=22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA=2t-22，AQ=3t-28，由PA=AQ，即2t-22=3t-28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA=QA得2t-22=22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．

解答 解：设P、Q点运动的时间为t，
（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，
则PB=2t，CQ=3t，AP=22-2t，AQ=28-3t，
∵△PFA与△QAG全等，
∴PA=AQ，即22-2t=28-3t，解得t=6，
即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；
（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，
此时2t+3t-28=22，
解得t=10，
（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，
则PA=2t-22，AQ=3t-28，
∵△PFA与△QAG全等，
∴PA=AQ，即2t-22=3t-28，解得t=6，舍去；
即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等，
当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA=QA得2t-22=22，解得t=22，舍去．
综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．

点评 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．