Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得

解得 ，

所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3

（2）解：把x=0代入y=﹣x2+bx+c中，

得﹣x2+bx+c=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

所以当﹣1＜x＜3，y＞0

（3）解：由y=﹣x2+2x+3

=﹣（x﹣1）2+4，

抛物线的对称轴为直线x=1，

则当2≤x≤4时，y随着x的增大而减小，

∴当x=2时，y的最大值是3

【解析】（1）因为点（﹣1，0），（0，3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象确定y＞0时，x的取值范围；（3）根据二次函数的增减性，确定2≤x≤4时，y的最大值．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．