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【题目】已知直线l与⊙O,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D.
(1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,求证:AC平分∠DAB;
(2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E,F时,求证:∠DAE=∠BAF.

【答案】
(1)解:连接OC,

∵直线l与⊙O相切于点C,

∴OC⊥CD;

又∵AD⊥CD,

∴AD∥OC,

∴∠DAC=∠ACO;

又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠DAC=∠CAO,

即AC平分∠DAB


(2)解:如图②,连接BF,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠AFB=90°,

∴∠BAF=90°﹣∠B,

∴∠AEF=∠ADE+∠DAE,

在⊙O中,四边形ABFE是圆的内接四边形,

∴∠AEF+∠B=180°,

∴∠BAF=∠DAE.


【解析】(1)连接OC,易得OC∥AD,根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO,再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO,就可以证出结论;(2)如图②,连接BF,由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得∠AFB=90°,由三角形外角的性质,可求得∠AEF的度数,又由圆的内接四边形的性质,继而证得结论.

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