Question

【题目】如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与点A不重合），点D是抛物线的顶点，请解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）求△BCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，

当y=0时，x=1，当x=0时，y=﹣3，

∴点A（1，0），点B（0，﹣3），

∵抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，

∴ ，

解得， ，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3

（2）解：△BCD是直角三角形，

理由：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4=（x+3）（x﹣1），

∴当y=0时，x=﹣3或x=1，此抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），

∵抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与点A不重合），点D是抛物线的顶点，

∴点C（﹣3，0），点D（﹣1，﹣4），

∵点B（0，﹣3），

∴BC= =3 ，

CD= =2 ，

BD= = ，

∵ ，

∴BC2+BD2=CD2，

∴△BCD是直角三角形

（3）解：由（2）知△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， ，CD=2 ，BD= ，

∴△BCD的面积是： ，

即△BCD的面积是3

【解析】（1）根据直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，可以求得点A和点B的坐标，由抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，从而可以得到抛物线的解析式；（2）根据（1）中的函数解析式可以分别求得点C和点D的坐标，从而可以求得BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题；（3）根据（2）中的判断，然后根据三角形的面积公式即可解答本题．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．