Question

如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为边AB上一动点，AF=nBF，E为直线BC上一点，且∠EDF=120°．

（1）如图1，当n=2时，求=______；
（2）如图2，当n=时，求证：CD=2CE；
（3）如图3，过点D作DM⊥BC于M，当______时，C点为线段EM的中点．

Answer 1

（1）解：过D作DG∥BC交AB于G，如图1，
∵D是AC的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DCE=120°，
又∵DG∥BC，
∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形，
而∠EDF=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
∴△GDF∽△CDE，
∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG，
而DG=AG=BG，AF=2BF，
设BF=x，AF=2x，则AB=3x，AG=x，FG=x-x=x，
∴CE：DC=FG：DG=FG：AG=x：x=1：3．
故答案为；

（2）证明：过D作DG∥BC交AB于G，如图2，当n=时，
则DG为△ABC的中位线，
同（1）一样可证得△GDF∽△CDE，
∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG，
而AF=BF，设BF=3x，AF=x，则AB=4x，AG=2x，GF=x，
∴CE：DC=FG：AG=x：2x，
∴CD=2CE；

（3）解：过D作DG∥AB交BC于G，如图3，
由前面可得CE：DC=FG：AG；
∵DM⊥BC，
∴∠MDC=30°，
∴MC=DC，
而C点为线段EM的中点，
∴CE=DC，
∴FG=AG，
∴FG=BG，即F为BG的中点，F为AB的四等分点，
∴AF=3BF，
故答案为n=3．
分析：（1）过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB=∠ABC=60°，由DG∥BC，得∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF=120°，得∠GDF=∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG=FG：AG，当AF=2BF，设BF=x，AF=2x，则AB=3x，AG=x，FG=x-x=x，即可得到CE：DC=1：3．
（2）由（1）得CE：DC=FG：AG，当AF=BF，设BF=3x，AF=x，则AB=4x，AG=2x，GF=x，即可得到结论；
（3）DM⊥BC，则∠MDC=30°得MC=DC，当C点为线段EM的中点，则有CE=DC，由前面的结论CE：DC=FG：AG得到FG=AG，即可得到AF=3BF．
点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．