Question

10．如图，已知点（-2，0），B（3，0），C（0，6），连接BC．
（1）求出直线AC的解析式；
（2）点P在第三象限且在直线AC上，且满足△PBC的面积等于20，求出点P的坐标；
（3）点M在直线AC上，在第一象限是否存在点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据图形的割补法，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分类讨论：①菱形ONCM，②菱形ONMC，根据菱形的性质的性质：对角线互相垂直且平分，可得N点的坐标；根据菱形的邻边相等，可得ON的长，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）设直AC的解析式为y=kx+b，
将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$．
直AC的解析式为y=3x+6；
（2）如图1所示，
设P（a，3a+6），由S_△PBC=S_△PAB+S_△ABC，得
$\frac{1}{2}$×5[-（3a+6）]+$\frac{1}{2}$×5×6=20．
解得a=-$\frac{8}{3}$，3a+6=-2，
P（-$\frac{8}{3}$，-2）；
（3）如图2，
菱形ONCM，ON∥MC，OC⊥MN，OC平分MN
ON的解析式为y=3x，N（x，3），
3=3x，解得x=1，N₁（1，3）；
如图3
菱形ONMC，ON∥MC，
ON的解析式为y=3x
ON=OC=6，
设N（x，3x），由勾股定理，得
x²+（3x）²=36，
解得x=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，y=3x=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
N₂（$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，$\frac{9\sqrt{10}}{5}$），
综上所述N₁ （1，3），N₂ （$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，$\frac{9\sqrt{10}}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用图形割补法求三角形的面积是解题关键；利用了菱形的性质，分类讨论是解题关键，以防遗漏．