Question

6．如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+m与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C的坐标为（0，-$\sqrt{3}$），∠OAB=∠OBC，P点为x轴上一点，P点的横坐标为t，连接AP，过P点作PM⊥AP交直线BC于M过M点作MN⊥x轴交x轴于N，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求PN的长；
（3）连接OM，t为何值时，△PMO是以PM为腰的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）求出y=-$\sqrt{3}$x+m与x轴的交点B的坐标，根据B、C两点坐标求出解析式即可；
（2）过P作x轴的垂线交AB于K，先证明△AKP∽△MPB，得$\frac{AP}{PM}$=$\frac{PK}{PB}$=$\sqrt{3}$，再证明△AOP∽△PMN，得$\frac{AP}{PM}$=$\frac{AO}{PN}$=$\frac{OP}{MN}$=$\sqrt{3}$，从而求出PN的长；
（3）分两种情况：OP=PM或MP=MO，分类讨论即可．

解答 解（1）∵y=-$\sqrt{3}$x+m
∴A（0，m）  B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，0）
∴tan∠OAB=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}m}{m}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30
又∵∠OAB=∠OBC=30°，OC=$\sqrt{3}$
∴OB=3，AO=3$\sqrt{3}$，
∴B（3，0），A（0，3$\sqrt{3}$），
设BC的解为y=kx+b，
解设$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得   $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
（2）如图1，过P作x轴的垂线交AB于K，
∵AP⊥PM
∴∠APM=∠KPB=90°，
∴∠APK=∠BPM，
又∵∠AKP=∠PBM=150°，
∴△AKP∽△MPB，
∴$\frac{AP}{PM}$=$\frac{PK}{PB}$=$\sqrt{3}$，
又∵∠AOP=∠MNP=90°，∠PAO=∠MPN，
∴△AOP∽△PMN，
∴$\frac{AP}{PM}$=$\frac{AO}{PN}$=$\frac{OP}{MN}$=$\sqrt{3}$
∴$\frac{3\sqrt{3}}{PN}$=$\sqrt{3}$，
∴PN=3；                         
（3）①如图2，①当OP=PM时，PM=OP=t，PN=3，
∵$\frac{AP}{PM}=\frac{PK}{PB}=\frac{OP}{MN}=\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
在Rt△PMN中  PM²=PN²+MN²      
t²=9+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）² t=$±\frac{3\sqrt{6}}{2}$      
  ②如图3，当MP=MO时，则ON=$\frac{1}{2}$PO，
∴-$\frac{t}{2}$=3，
∴t=-6．
∴t为$±\frac{3\sqrt{6}}{2}$或-6时，△PMO是以PM为腰的等腰三角形．

点评 本题主要考查了一次函数的综合应用、锐角三角函数、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．熟练地运用数形结合，发现图形中的相似三角形是解决问题的关键．