Question

17．已知：如图，△ABC是⊙O的内角三角形，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE与⊙O相切，交CB的延长线于E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若∠A=30°，BE=1cm，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）平行．连接OD，因为DE与⊙O相切，得出OD⊥DE．根据BD是∠ABE的平分线，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，即可推出答案；
（2）由∠A=30°，根据三角形的外角性质求出∠DBE，即可求出DE．．

解答 （1）证明：连接OD，
∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD是∠ABE的平分线，
即∠ABD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥BE．
∴BE⊥DE，即DE⊥CE，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴AC⊥CE，
∴AC∥DE；

（2）解：∵∠A=30°，
∴∠ABE=120°，
∵BD平分∠ABE，
∴∠DBE=60°，
∵BE=1，
∴DE=BEtan60°=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质，三角形的外角性质，三角形的角平分线，平行线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．