Question

如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，过点B作BA的垂线与AD的延长线相交于点E，求证：△BDE是等腰三角形．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：在直角△ACD中根据直角三角形的两锐角互余可以证得∠ADC+∠DAC=90°，在直角△ABE中得到∠E+∠BAE=90°，根据等角的余角相等即可证得∠E=∠BDE，利用等角对等边即可证得．

解答：证明：∵在直角△ACD中，∠ADC+∠DAC=90°，
又∵∠BDE=∠ADC，
∴∠BDE+∠DAC=90°，
∵直角△ABE中，∠E+∠BAE=90°，
又∵AD是∠BAC的平分线，即∠BAE=∠DAC，
∴∠E=∠BDE，
∴BE=BD，即△BDE是等腰三角形．

点评：本题考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定方法：等角对等边，证明同一个三角形中的两边相等的方法，常用方法是证明两边所对的角相等．