Question

【题目】如图，正方形的边长为6个单位长度，点是边的中点，点从点出发，以1个单位/秒的速度按的方向运动，再次回到点结束运动，设点运动的时间为秒．

（1）如图1，若为直角三角形，求的值；

（2）如图2，若点在上，且，求的度数；

（3）如图3，点是对角线的三等分点，且，若，直接写出满足条件的点的个数，并注明这些点分别在正方形的哪条边上．

Answer 1

【答案】（1）4.5或12或21；（2）135°；（3）有两个，分别在和上

【解析】

（1）分当点F在CD上、AD上以及和点B重合时三种情况分别求出相应的t值；

（2）根据题意求出DF和CF，EF，延长至点，证明，得到，，再证明，得到对应角相等，最后根据可得结果；

（3）分点F在正方形各边上的情况，分别求出的最值，即可得出结果．

解：（1）①当点在上，，

则，

∴，

∴，

解之：，

②当点在上，，，

③当点与点重合，，，

（2）解：∵，

∴，，

在中，，

延长至点，使，

则，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，，

又∵在中，，

∴；

（3）满足条件的点有两个，分别在边和上.

理由是：当点F在AB上时，如图，

E′为点E关于AB的对称点，GH⊥BC于H，

∵GH∥CD，

∴，

可得GH=BH=4，

∴的最小值为E′G=＞8，

即AB上没有符合要求的F；

当点F在AD上时，如图，

E′为点E关于AD的对称点，

同理可得：KG=AB=2，HG=6+2=8＜E′G，

∴此时的最小值为E′G的长，大于8，

∴AD上不存在符合要求的F；

当点F在CD上时，如图，

E′为点E关于CD的对称点，GH⊥BC于H，

同理可得：GH=BH=4，HC=2，

∴HE′=5，

此时的最小值为E′G=＜8，

当点F在点D处时，=ED+GD==，

∴CD上存在符合要求的点F；

当点F在BC上时，GH⊥BC于H，

若点F与点E重合，

同理可知GH=4=BH，EH=BH-BE=1，

则=GE=＜8，

若点F与点B重合，

同理可知BG=，BE=3，

则=BE+BG==8，

故BC上存在符合要求的点F；

综上：满足条件的点有两个，分别在和上.