Question

13．点M在平行四边形ABCD的边AB上，满足AM：MB=4：3，且DM和CM分别垂直于AC和BD．若BC=5cm，请问?ABCD的面积是多少cm²？

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出△ODN≌△OBM，进而得出OM=ON，DN=BM，CN=AM，由DM⊥AC，CM⊥BD，可得点O是△CDM的垂心，由AM：MB=4：3得$\frac{BF}{DF}$=$\frac{BM}{CD}$=$\frac{3}{7}$，由△DON∽△MOF，得出OD•OF=OM•ON，从而得出BD=$\sqrt{10}$OM，由勾股定理可昨CD=$\frac{7}{3}$DN=$\frac{7}{3}$$\sqrt{O{D}^{2}-O{N}^{2}}$，再利用△DON∽△DCF，可求出CF的值，在RT△BCF中，利用勾股定理可得OM²=6，运用S_{平行四边形ABCD}=CD•MN即可求解．

解答 解：连接MO并延长交CD于点N，

∵四边形ABCD是平行四边形，点O为对角线的交点
∴DO=BO，∠DON=∠BOM，∠NDO=∠MBO，
在△ODN和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDO=∠MBO}\\{DO=BO}\\{∠DON=∠BOM}\end{array}\right.$，
∴△ODN≌△OBM（ASA），
∴OM=ON，DN=BM，
∴CN=AM，
∵DM⊥AC，CM⊥BD，
∴点O是△CDM的垂心，
∴MN⊥CD，
由AB∥CD，AM：MB=4：3得：$\frac{BF}{DF}$=$\frac{BM}{CD}$=$\frac{3}{7}$，
∴BF=$\frac{3}{10}$BD，OD=$\frac{1}{2}$BD，OF=$\frac{1}{5}$BD，
∵∠DNO=∠MFO=90°，∠DON=∠MOF，
∴△DON∽△MOF，
∴OD•OF=OM•ON，
∴$\frac{1}{2}$BD•$\frac{1}{5}$BD=OM²，得BD=$\sqrt{10}$OM，
∴OD=$\frac{\sqrt{10}OM}{2}$，BF=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$OM，DF=$\frac{7\sqrt{10}}{10}$OM，ON=OM，
而CD=$\frac{7}{3}$DN=$\frac{7}{3}$$\sqrt{O{D}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{7}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$OM=$\frac{7\sqrt{6}}{6}$OM，
由△DON∽△DCF，得$\frac{CF}{ON}$=$\frac{CD}{OD}$，
∴CF=$\frac{7\sqrt{15}}{15}$，
在RT△BCF中，BF²+CF²=BC²=25得OM²=6，
∴S_{平行四边形ABCD}=CD•MN=$\frac{7\sqrt{6}}{6}$OM•2OM=$\frac{7\sqrt{6}}{3}$OM²=14$\sqrt{6}$（平方厘米）．
答：?ABCD的面积是14$\sqrt{6}$cm²．

点评 本题主要考查了面积及等积变换，涉及平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，利用相似三角形求出CF的值．